Une
loi de probabilité ou
distribution a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d'apparition des résultats d'un phénomène
aléatoire. Dans le dernier quart du
XXe siècle, on a largement étendu le concept à des domaines où il n'était plus question de fréquences, mais de représentation d'états de connaissance.
Les lois de probabilité sont utilisées en Probabilité, et par extension en Statistiques, qui sont des branches des Mathématiques.
On associe naturellement une loi de probabilité à une Variable aléatoire pour décrire la répartition des valeurs qu'elle peut prendre.
Parmi l'ensemble des lois de probabilités possibles, on distingue un certain nombre de familles usuelles qui correspondent à des phénomènes aléatoires simples : lancer de dés, jeu de pile ou face, erreurs de mesures, etc. Combinées entre elles, elles permettent d'élaborer des modélisations de phénomènes aléatoires plus complexes.
Définitions
Une loi de probabilité se caractérise de différentes manières. Le plus souvent, on utilise la fonction de répartition pour caractériser une loi. Cela présente l'avantage d'être valable aussi bien pour les lois discrètes que continues. Mais on peut aussi caractériser une loi mixte avec une fonction de répartition. Dans le cas d'une loi continue, on utilise très souvent la densité , alors que dans le cas discret, la donnée des probabilités élémentaires suffit à caractériser la loi en question.
Exemples de lois discrètes
Les résultats de la variable aléatoire
X sont discrets, on peut définir leur probabilité
P (X = n)
Loi de Bernoulli
Article détaillé : . - La loi de Bernoulli correspond à un lancer de pile ou face : p = succès ; q = (1-p) = échec
- P (X = 1) = p
- P (X = 0) = q
Loi binomiale
Article détaillé : .- n épreuves de Bernoulli identiques.
- P (X = k) = C n k p k (1-p) n-k pour tout k de 0 à n, p étant un réel compris entre 0 et 1
- E (X) = np
- V (X) = np(1- p) = npq où q = 1-p
Loi hypergéométrique
Article détaillé : .| P (X = k) = | C pA k C ( 1 - p ) A n-k
–––––––––––––––––––––
C A n |
où A est un entier, pAet n des entiers inférieurs à A - E (X) = np
| V (X) = np(1-p) | A-n
–––––––
A - 1 |
Loi de Poisson
Article détaillé : .| P (X = n) = | λ n
–––
n! | exp (- λ) n ∈ N, λ ∈ R + * |
- E (X) = λ
- V (X) = λ
Loi géométrique
Article détaillé : .- P (X = n) = (1-p) n - 1 p où p est un réel compris entre 0 et 1 et n un entier non nul.
-
-
Exemples de lois continues
Les résultats de la variable aléatoire
X sont continus, on peut définir la densité de probabilité
fX, on a alors| P (a < X < b) = ∫ | b
a | df X (x) |
En outre, si la densité df X est continue par rapport à la Mesure de Lebesgue alors: | P (a < X < b) = ∫ | b
a | f X (x) dx |
Loi uniforme
Article détaillé : .Loi uniforme continue sur un intervalle borné :
-
-
| V (X) = | (b-a) 2
––––––––
12 |
Loi normale
Article détaillé : .| f X (x) = ( 2 π σ X 2 ) -1/2 • exp | ( | - | (x-m X ) 2
–––––––––––
2 σ X 2 | ) |
| f X (x) = | 1
––––––––––––
σ X √(2 π) | • e | ( | - | (x-m X )2
–––––––––––
2 σ X 2 | ) | |
- E (X) = m X
- V (X) = σ X 2
Loi exponentielle
Article détaillé : .| f X (x) = |
{
| λ. exp(- λ x) si x ≥ 0 | | 0 sinon |
|
-
-
Loi logistique
Article détaillé : .| f X (x) = | e - ( x - μ ) / s
––––––––––––––––––––––
s(1+e - ( x - μ ) / s) 2 |
- E (X) = μ
-
Loi de Cauchy
Article détaillé : .| f X (x) = | 1
––
π | 1
–––––
1+x 2 |
La loi de Cauchy n'admet aucun moment (donc ni moyenne ni variance, entre autre).
Loi de Tukey-Lambda
La
Loi de Tukey-Lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles:
| G (p) = | p λ - (1-p) λ
––––––––––––––––––
λ |
elle a par la suite été généralisée.
Histoire
L'allure générale des lois de probabilité usuelles fut au début observée empiriquement, puis on en formalisa la définition dans le cadre de la théorie des probabilités en mathématiques.
Maximum d'entropie
Les lois de probabilité usuelles sont souvent classées par familles dépendant d'un paramètre. La
Loi normale par exemple est paramétrée par sa
Moyenne et son écart type. La plupart des familles usuelles de lois de probabilités sont celles offrant le maximum d'
Entropie (au sens de
Claude Shannon, donc
le moins d'information) sous contraintes :
- La distribution normale par exemple est celle d'entropie maximale parmi toutes les lois possibles ayant même moyenne et même écart type.
- La distribution exponentielle est celle d'entropie maximale parmi celles ayant la même moyenne
- Les lois scalantes comme celle de Zipf ou de Mandelbrot sont d'entropie maximale parmi celles auxquelles on impose la valeur du logarithme d'une moyenne, c'est-à-dire un ordre de grandeur.
En quelque sorte, ces lois ne contiennent pas plus d'Information que ce qui est obligatoire. Ce sont les moins prévenues de toutes les lois compatibles avec les observations ou les contraintes, et donc les seules admissibles objectivement comme distributions de probabilités a priori lorsque ces valeurs sont imposées et seules connues. Cette propriété joue un grand rôle dans les méthodes bayésiennes.
Définition mathématique
En théorie des probabilités, une loi (ou mesure) de probabilité est une mesure positive
P sur un espace mesurable
( Ω, A), telle que
P( Ω) = 1. Le triplet
( Ω, A, P) est appelé
espace probabilisé.
Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle
Soit une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé
( Ω, A, P), c'est-à-dire une
Fonction mesurable X : Ω → R (l'ensemble
R étant muni de sa
Tribu borélienne B R ).
On appelle loi (de probabilité) de la variable aléatoire X la mesure image de P par X. C'est la mesure de probabilité P X sur l'espace mesurable (R, B R ) définie par :
P X (B) = P(X -1 (B))
pour tout borélien B de R.
Lorsque le support de cette mesure est un ensemble fini ou dénombrable, par exemple N, on parle de loi discrète, tandis que lorsque la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R, on parle de loi continue.
Exemples de distribution
Voir aussi